[2015년 주엽고]

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[1학년 2학기 기말]

다음과 같이 나열되어 있는 수열이 있다.

이 수열의 일반항을 구하면?

[eqn: 4],  [eqn: 1],  [eqn: 1OVER4],  [eqn: {1} over {16}],  [eqn: 1over64],  [eqn: cdots]

⑤

① [eqn: a_n = 4^n-2]	② [eqn: a_n =4^n-1]	③ [eqn: a_n = left( 1over 4 right) ^n]

④ [eqn: a_n = left( 1over 4 right) ^n]	⑤ [eqn: a_n = left( 1over4 right) ^n-2]

[eqn: 36^-0.5]을 간단히 하면?

④

① [eqn: root6]	② [eqn: 1 over root 6]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 1OVER6]	⑤ [eqn: 6 root6]

[eqn: sum _k=1 ^10 `(2k^2 - 3k +5)]의 값은?

②

① [eqn: 650]	② [eqn: 655]	③ [eqn: 660]

④ [eqn: 665]	⑤ [eqn: 670]

세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 다음 조건을 만족한다.

[eqn: a+b+c]의 값은?

(가) [eqn: -125]의 세제곱근 중 실수는 [eqn: a]이다.

(나) [eqn: 16]의 네제곱근의 개수는 [eqn: b]이다.

(다) [eqn: - root 4 of 81]의 값은 [eqn: c]이다.

②

① [eqn: -3]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -7]

등차수열 [eqn: left{ a_n right}]에 대하여
[eqn: sum _k=1 ^3 `a_2k-1 =3], [eqn: sum _k=1 ^ 3 `a_2k+2 = -24]
를 만족할 때, 첫째항 [eqn: a]와 공차 [eqn: d]의 합은?

③

① [eqn: -3]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 10]

등식 [eqn: sqrt {root {3} of {64 ^{2}}} TIMES 32 ^{- {1} over {5}} ÷ LEFT ( 8 ^{{2} over {3}} RIGHT ) ^{- {1} over {4}} = sqrt {sqrt {sqrt {2 ^{3k}}}}]을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 값은?

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: log_4`27 cdot log_9`25 cdot log _5`16]의 값은?

②

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

첫째항과 공비가 모두 [eqn: 4]인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: sum _n=1 ^25 `log_16`a_n]의 값은?

③

① [eqn: 325 over8]	② [eqn: 325 over4]	③ [eqn: 325 over2]

④ [eqn: 325]	⑤ [eqn: 650]

[eqn: f(x) = {a^x -a^-x}over{a^x + a^-x}], [eqn: f(alpha) = 1over2], [eqn: f(beta) = 1over4]일 때, [eqn: f(alpha + beta)]의 값은?
(단, [eqn: a>0])

②

① [eqn: 1OVER2]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 5over3]	⑤ [eqn: 2]

수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]에 대하여
[eqn: S_2n = 8n^2 - 24n]일 때, [eqn: a_1 + a_3 + a_5 + `cdots`+a_21]의 값은?

③

① [eqn: 88]	② [eqn: 196]	③ [eqn: 330]

④ [eqn: 588]	⑤ [eqn: 704]

모든 항이 양수인 두 수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]에 대하여 [eqn: a_n], [eqn: b_n], [eqn: a_n+1]은 이 순서대로 등차수열을 이루고, [eqn: b_n], [eqn: a_n+1], [eqn: b_n+1]은 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 일반항 [eqn: a_n]과 [eqn: b_n]을 구하는 과정이다. (단, [eqn: a_1 = 1], [eqn: a_2 = 3], [eqn: b_1 = 2])

위 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

[eqn: a_n], [eqn: b_n], [eqn: a_n+1]은 이 순서대로 등차수열을 이루므로

[eqn: 2b_n = a_n + a_n+1]이다. …… ㉠

[eqn: b_n], [eqn: a_n+1], [eqn: b_n+1]은 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: (a_n+1 )^2 = b_n b_n+1]이고, [eqn: a_n+1 >0], [eqn: a_n+2 >0]이므로

[eqn: a_n+1 = root {b_n b_n+1}], [eqn: a_n+2 = root{b_n+1 b_n+2}]이다. …… ㉡

또한, ㉠, ㉡에서 얻어진

[eqn: 2b_n+1 = root{b_n b_n+1 } + root{b_n+1 b_n+2 }]의 양변을 [eqn: root {b_n+1}]로 나누면, [eqn: 2rootb_n+1 = rootb_n + rootb_n+2]이므로

[eqn: left{ rootb_n right}]은 [eqn: BOX{`````(가)`````}]수열이다.

그러므로 [eqn: a_2 = 3], [eqn: b_1 = 2], [eqn: (a_2 )^2 = b_1 b_2]에서

[eqn: b_2 = 9over2]이므로 [eqn: b _{n} = BOX{`````(나)`````}]이다.

따라서, [eqn: a _{n} = BOX{`````(다)`````}]이다.

⑤

(가)	(나)	(다)

① 등차	[eqn: 1over2 (n+1)^2]	[eqn: n(n+1) over 4]

② 등비	[eqn: 1over2 (n+1)^2]	[eqn: n(n+1) over2]

③ 등차	[eqn: 1over4 (n+1) ^2]	[eqn: n(n+1) over 4]

④ 등비	[eqn: 1over4 (n+1) ^2]	[eqn: n(n+1) over 4]

⑤ 등차      [eqn: 1over2 (n+1)^2]	[eqn: n(n+1) over2]

피타고라스 학파는 다음과 같이 표현되는 점들의 개수를 삼각수라고 하였다.

즉, 삼각수란 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 6], [eqn: 10], [eqn: cdots]이다. 제[eqn: n]번째 삼각수를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum _k=1 ^12 `a_k]의 값은?

②

① [eqn: 338]	② [eqn: 364]	③ [eqn: 442]

④ [eqn: 520]	⑤ [eqn: 728]

수열 [eqn: left{a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_n+1 -a_n = 2^n-5 +n]을 만족시킬 때, [eqn: a_10 -a_7]의 값은?

④

① [eqn: 46]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 50]

④ [eqn: 52]	⑤ [eqn: 54]

첫째항이 [eqn: 1over500], 공비가 [eqn: 3]인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에서
[eqn: log _{3} a _{1} +log _{3} a _{2} + CDOTS +log _{3}`a _{n}]
의 값이 최소일 때, [eqn: n]의 값은?

③

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

첫째항이 [eqn: 2]이고, 각 항이 양수인 수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: sum _k=1 ^10 `{a_k+1}over{S_k S_k+1 } = 1over3]일 때, [eqn: S_11]의 값은?

①

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[eqn: log_3`(3a -6) - 1 over {log_2`3} = 1 - 2log_9`(3b-1)]을 만족하는 정수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a-b]의 값은?

①

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

다음과 같이 자연수를 [eqn: 1]부터 연속하여 제[eqn: n]행에는 [eqn: n]개의 자연수가 오도록 나열하였다.

	제[eqn: 1]행	[eqn: 1]
	제[eqn: 2]행	[eqn: 2] [eqn: 3]
	제[eqn: 3]행	[eqn: 4] [eqn: 5] [eqn: 6]
	제[eqn: 4]행	[eqn: 7] [eqn: 8] [eqn: 9] [eqn: 10]
	제[eqn: 5]행	[eqn: 11] [eqn: 12] [eqn: 13] [eqn: 14] [eqn: 15]
	제[eqn: 6]행	[eqn: 16] [eqn: 17] [eqn: 18] [eqn: 19] [eqn: 20] [eqn: 21]
	⁝	⁝

제[eqn: 11]행에 나열된 모든 자연수의 평균은?

③

① [eqn: 25]	② [eqn: 41]	③ [eqn: 61]

④ [eqn: 85]	⑤ [eqn: 113]

어느 봉급생활자가 봉급의 일부를 매년 [eqn: 1]월 [eqn: 1]일 적립하려고 한다. 적립할 금액은, 봉급 인상률을 감안하여 전년도 보다 [eqn: 6`%]씩 증액하기로 하였다. [eqn: 2016]년 [eqn: 1]월 [eqn: 1]일 부터 [eqn: 10]년간 적립한 금액은 [eqn: 2026]년 [eqn: 1]월 [eqn: 1]일 부터 [eqn: 10]년 간 매년 [eqn: 500]만원 씩 연금으로 받기로 하였다. 연이율 [eqn: 6`%], [eqn: 1]년마다 복리로 계산할 때, [eqn: 2016]년 첫 적립금액은 얼마인가? (단, [eqn: 1.06^10 = 2]로 계산하고, 단위는 만원이며 만원 미만은 없앤다.)

④

① [eqn: 108]	② [eqn: 136]	③ [eqn: 185]

④ [eqn: 220]	⑤ [eqn: 500]

자연수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: log`x]의 정수 부분을 [eqn: f(x)], 소수 부분을 [eqn: g(x)]라고 하자. [eqn: m], [eqn: n]이 자연수일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

①

ㄱ. [eqn: g(320) < g(57)]

ㄴ. [eqn: f(n) - g(n)]의 최솟값은 [eqn: log ` 1over9]이다.

ㄷ. [eqn: f(1) + f(2) + `cdots`f(1025)]의 값은 [eqn: 1965]이다.

ㄹ. [eqn: f(m) = f(n) = 3]이면 [eqn: |` m-n `|]의 최댓값은

[eqn: 9000]이다.

① ㄱ, ㄴ	② ㄴ, ㄷ	③ ㄴ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄷ, ㄹ

[eqn: log`N - [log`N] = alpha]일 때, [eqn: log root3 of N = 3 - alpha`(0 leq alpha < 1)]를 만족하는 모든 [eqn: N]의 값의 곱을 [eqn: 10^{m over n}]이라고 할 때, [eqn: m+n]의 값은? (단, [eqn: m], [eqn: n]은 서로소인 양의 정수, [[eqn: x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

④

① [eqn: 47]	② [eqn: 54]	③ [eqn: 61]

④ [eqn: 65]	⑤ [eqn: 69]

서술형

첫째항이 [eqn: 2], [eqn: a_3 = 16]인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에서 첫째항부터 제[eqn: 9]항까지의 곱을 [eqn: b = a_1 a_2 `cdots`a_9]라고 할 때, [eqn: log_r`b]의 값을 구하고, 그 풀이과정을 서술하시오. (단, 공비 [eqn: r > 0], [eqn: r!= 1])

[eqn: 42]

각 항이 모두 양수로 이루어진 수열 [eqn: left{a_n right}]에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라고 할 때,
[eqn: 2S_n = a_n + 16 over a_n]
이 성립한다. 이때, [eqn: S_25]의 값을 구하고, 그 풀이과정을 서술하시오.

[eqn: 20]

[2015년 주엽고]

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[1학년 2학기 기말]

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